首先，该文章来自于极客时间网站，王争的专栏——《数据结构与算法之美》，我这里只是做简单的解释、记录并添加自己的见解，只是作为个人笔记，若侵权，马上删除。最后建议直接去该网站上购买该课程看原作者的讲解，一来是支持作者，二来是作者写的确实不错。
假设现在我们有一个包含 10 亿个搜索关键词的日志文件，如何能快速获取到热门榜 Top 10 的搜索关键词呢？
这个问题可以使用堆来解决。实际上，堆除了可以应用在堆排序，还有几个特别重要的应用：优先级队列、求 Top K 和求中位数。
堆的应用一：优先级队列
优先级队列首先应该是一个队列，队列的最大的特性就是先进先出。不过在优先级队列中，数据的出队顺序不是先进先出，而是按照优先级来，优先级最高的，最先出队。
利用堆来实现优先级队列是最直接、最高效的。因为堆和优先级队列非常相似，一个堆就可以看作一个优先级队列。很多时候，它们只是概念上的区分而已。往优先级队列中插入一个元素，就相当于往堆中插入一个元素；从优先级队列中取出优先级最高的元素，就相当于取出堆顶元素。
后面的赫夫曼编码、图的最短路径、最小生成树算法等都需要使用到优先级队列。除此之外，举两个关于优先级队列的具体例子。
合并有序小文件
假设有100个大小为100MB的小文件，每个文件中存储的都是有序的字符串。我们希望将这些 100 个小文件合并成一个有序的大文件。这里就会用到优先级队列。
整体思路类似于归并排序中的合并函数。从这100个文件中，各取第一个字符串放入数组中，然后比较大小，把最小的那个字符串放入合并后的大文件中，并从数组中删除。依次类推，直到所有的文件中的数据都放入到大文件为止。
这里我们使用数组这种数据结构，来存储从小文件中取出来的字符串。每次从数组中取最小字符串，都需要循环遍历整个数组，显然，这不是很高效。有没有更加高效方法呢？
这里可以用到优先级队列，也可以说是堆。将从小文件中取出来的字符串放入到小顶堆中，那堆顶的元素，也就是优先级队列队首的元素，就是最小的字符串。将这个字符串放入到大文件中，并将其从堆中删除。然后再从小文件中取出下一个字符串，放入到堆中。循环这个过程，就可以将 100 个小文件中的数据依次放入到大文件中。
删除堆顶数据和往堆中插入数据的时间复杂度都是 $O(logn)$，$n$ 表示堆中的数据个数，这里就是 100。比原来数组存储方式高效多了。
高性能定时器
假设我们有一个定时器，定时器中维护了很多定时任务，每个任务都设定了一个要触发执行的时间点。定时器每过一个很小的单位时间（比如 1 秒），就扫描一遍任务，看是否有任务到达设定的执行时间。如果到达了，就拿出来执行。
但是这种每过一秒就扫描一遍任务列表的做法比较低效，主要原因为：
- 任务的约定执行时间离当前时间可能还有很久，这样前面很多次扫描其实都是徒劳的；
- 每次都要扫描整个任务列表，如果任务列表很大的话，势必会比较耗时。
若使用优先级队列来解决这个问题，按照任务设定的执行时间，将这些任务存储在优先级队列中，队列首部（也就是小顶堆的堆顶）存储的是最先执行的任务。
这样，定时器就不需要每隔 1 秒就扫描一遍任务列表了。它拿队首任务的执行时间点，与当前时间点相减，得到一个时间间隔 T。定时器就可以设定在 T 秒之后，再来执行任务。从当前时间点到（T-1）秒这段时间里，定时器都不需要做任何事情。
当 T 秒时间过去之后，定时器取优先级队列中队首的任务执行。然后再计算新的队首任务的执行时间点与当前时间点的差值，把这个值作为定时器执行下一个任务需要等待的时间。
这样，定时器既不用间隔 1 秒就轮询一次，也不用遍历整个任务列表，性能也就提高了。
堆的应用二：利用堆求 Top K
求 Top K 的问题可以抽象成两类。
- 针对静态数据集合，也就是说数据集合事先确定，不会再变
- 针对动态数据集合，也就是说数据集合事先并不确定，有数据动态地加入到集合中。
针对静态数据，可以维护一个大小为 K 的小顶堆，顺序遍历数组，从数组中取出数据与堆顶元素比较。如果比堆顶元素大，我们就把堆顶元素删除，并且将这个元素插入到堆中（涉及到堆化）；如果比堆顶元素小，则不做处理，继续遍历数组。这样等数组中的数据都遍历完之后，堆中的数据就是前 K 大数据了。
遍历数组需要 $O(n)$ 的时间复杂度，一次堆化操作需要 $O(logK)$ 的时间复杂度，所以最坏情况下，$n$ 个元素都入堆一次，时间复杂度就是 $O(nlogK)$。
针对动态数据求得 Top K 就是实时 Top K。一个数据集合中有两个操作，一个是添加数据，另一个询问当前的前 K 大数据。
如果每次询问前 K 大数据，我们都基于当前的数据重新计算的话，那时间复杂度就是 $O(nlogK)$，n 表示当前的数据的大小。实际上，我们可以一直都维护一个 K 大小的小顶堆，当有数据被添加到集合中时，我们就拿它与堆顶的元素对比。如果比堆顶元素大，我们就把堆顶元素删除，并且将这个元素插入到堆中；如果比堆顶元素小，则不做处理。这样，无论任何时候需要查询当前的前 K 大数据，我们都可以立刻返回给他。
堆的应用三：利用堆求中位数
如何求动态数据集合中的中位数。中位数就是处在中间位置的数。假设数据是从0开始编号的，若数据的个数是奇数，那么第$\frac{n}{2}+1$个数据就是中位数；若数据是偶数，那么第$\frac{n}{2}$和$\frac{n}{2}+1$个数据都是中间数字，我们随意取一个作为中位数，比如第$\frac{n}{2}$个数据。
对于一组静态数据，中位数是固定的，可以先排序，第 $\frac{n}{2}$ 个数据就是中位数。尽管排序的代价比较大，但是边际成本会很小。
但是对于动态数据集合，中位数不停地在变动，如果再用先排序的方法，每次询问中位数的时候，都要先进行排序，那效率就不高了。此时就需要借助堆数据结构。
这里需要维护两个堆，一个大顶堆，一个小顶堆。大顶堆中存储前半部分数据，小顶堆中存储后半部分数据，且小顶堆中的数据都大于大顶堆中的数据。
如果有n个数据：
- 若 n 为偶数，从小到大排序，那前 $\frac{n}{2}$ 个数据存储在大顶堆中，后 $\frac{n}{2}$ 个数据存储在小顶堆中。这样，大顶堆中的堆顶元素就是我们要找的中位数。
- 若 n 为奇数，从小到大排序，大顶堆存储$\frac{n}{2}+1$个数据，小顶堆中存储$\frac{n}{2}$ 个数据。
若新添加一个数据的时候，如果新加入的数据小于等于大顶堆的堆顶元素，我们就将这个新数据插入到大顶堆；否则，我们就将这个新数据插入到小顶堆。
这个时候有可能出现，两个堆中的数据个数不符合前面约定的情况。我们可以从一个堆中不停地将堆顶元素移动到另一个堆，通过这样的调整，来让两个堆中的数据满足上面的约定。
于是，我们就可以利用两个堆，一个大顶堆、一个小顶堆，实现在动态数据集合中求中位数的操作。插入数据因为需要涉及堆化，所以时间复杂度变成了 $O(logn)$，但是求中位数我们只需要返回大顶堆的堆顶元素就可以了，所以时间复杂度就是 $O(1)$。
实际上，利用两个堆不仅可以快速求出中位数，还可以快速求其他百分位的数据，原理是类似的。现在我们看看一个问题——“如何快速求接口的 99% 响应时间？”
首先解释一下，什么是“99% 响应时间”。99 百分位数的概念可以类比中位数，如果将一组数据从小到大排列，这个 99 百分位数就是大于等于前面 99% 数据的那个数据。假设有 100 个数据，分别是 1，2，3，……，100，那 99 百分位数就是 99，因为小于等于 99 的数占总个数的 99%。
再来看99%响应时间。如果有100 个接口访问请求，将这 100 个接口的响应时间按照从小到大排列，排在第 99 的那个数据就是 99% 响应时间，也叫 99 百分位响应时间。
总结一下，若有 n 个数据，将其从小到大排列之后，99 百分位数大约就是第 n*99% 个数据。那么如何求99%响应时间呢？
同样的，我们维护两个堆，一个大顶堆，一个小顶堆。假设当前总数据的个数是 n，大顶堆中保存 n*99% 个数据，小顶堆中保存 n*1% 个数据。大顶堆堆顶的数据就是我们要找的 99% 响应时间。
每次插入一个数据的时候，如果这个新插入的数据比大顶堆的堆顶数据小，那就插入大顶堆；如果这个新插入的数据比小顶堆的堆顶数据大，那就插入小顶堆。
同样为了大顶堆和小顶堆内的数据总数和上面的要求一致，在每次新插入数据之后，我们都要重新计算，这个时候大顶堆和小顶堆中的数据个数，是否还符合 99:1 这个比例。如果不符合，我们就将一个堆中的数据移动到另一个堆，直到满足这个比例。移动的方法和前面求中位数方法相同。
每次插入数据，可能会涉及几个数据的堆化操作，所以时间复杂度是 $O(logn)$。每次求 99% 响应时间的时候，直接返回大顶堆中的堆顶数据即可，时间复杂度是 $O(1)$。
解答开篇
假设我们有一个包含10 亿个搜索关键词的日志文件，可以使用的内存为1GB，那么如何快速获取到 Top 10 最热门的搜索关键词呢？
用户搜索的关键字，有很多可能是重复的，所以首先要统计每个搜索关键词出现的频率。可以通过散列表、平衡二叉查找树或者其他一些支持快速查找、插入的数据结构，来记录关键词及其出现的次数。
假设使用散列表，顺序扫描这 10 亿个搜索关键词。当扫描到某个关键词时，我们去散列表中查询。如果存在，我们就将对应的次数加一；如果不存在，我们就将它插入到散列表，并记录次数为 1。以此类推，等遍历完这 10 亿个搜索关键词之后，散列表中就存储了不重复的搜索关键词以及出现的次数。
然后，根据前面讲的用堆求 Top K的方法，建立一个大小为 10 的小顶堆，遍历散列表，依次取出每个搜索关键词及对应出现的次数，然后与堆顶的搜索关键词对比。如果出现次数比堆顶搜索关键词的次数多，那就删除堆顶的关键词，将这个出现次数更多的关键词加入到堆中。
以此类推，当遍历完整个散列表中的搜索关键词之后，堆中的搜索关键词就是出现次数最多的 Top 10 搜索关键词了。
其实，上面的解决思路还存在着漏洞。假设10亿条搜索关键词中不重复的有 1 亿条，如果每个搜索关键词的平均长度是 50 个字节，那存储 1 亿个关键词起码需要 5GB 的内存空间，而散列表因为要避免频繁冲突，不会选择太大的装载因子，所以消耗的内存空间就更多了。而我们要求只有1GB的内存，这时候，需要借助前面哈希算法一节的思想：相同数据经过哈希算法得到的哈希值是一样的。可以根据哈希算法的这个特点，将 10 亿条搜索关键词先通过哈希算法分片到 10 个文件中。
具体而言：我们创建 10 个空文件 00，01，02，……，09。我们遍历这 10 亿个关键词，并且通过某个哈希算法对其求哈希值，然后哈希值同 10 取模，得到的结果就是这个搜索关键词应该被分到的文件编号。对这 10 亿个关键词分片之后，每个文件都只有 1 亿的关键词，去除掉重复的，可能就只有 1000 万个，每个关键词平均 50 个字节，所以总的大小就是 500MB。1GB 的内存完全可以放得下。
接着，针对每个包含 1 亿条搜索关键词的文件，利用散列表和堆，分别求出 Top 10，然后把这个 10 个 Top 10 放在一块，然后取这 100 个关键词中，出现次数最多的 10 个关键词，这就是这 10 亿数据中的 Top 10 最频繁的搜索关键词了。
内容小结
今天主要讲了堆的应用：优先级队列、求 Top K 问题和求中位数问题。
优先级队列是一种特殊的队列，优先级高的数据先出队，而不再像普通的队列那样，先进先出。实际上，堆就可以看作优先级队列，只是称谓不一样罢了。
求 Top K 问题又可以分为针对静态数据和针对动态数据，只需要利用一个堆，就可以做到非常高效率的查询 Top K 的数据。
求中位数实际上还有很多变形，比如求 99 百分位数据、90 百分位数据等，处理的思路都是一样的，即利用两个堆，一个大顶堆，一个小顶堆，随着数据的动态添加，动态调整两个堆中的数据，最后大顶堆的堆顶元素就是要求的数据。
课后思考
有一个访问量非常大的新闻网站，我们希望将点击量排名 Top 10 的新闻摘要，滚动显示在网站首页 banner 上，并且每隔 1 小时更新一次。如果你是负责开发这个功能的工程师，你会如何来实现呢？
答：网上有一个人的思路是这样的：
1，对每篇新闻摘要计算一个hashcode，并建立摘要与hashcode的关联关系，使用map存储，以hashCode为key，新闻摘要为值；
2，按每小时一个文件的方式记录下被点击的摘要的hashCode；
3，当一个小时结果后，上一个小时的文件被关闭，开始计算上一个小时的点击top10；
4，将hashcode分片到多个文件中，通过对hashCode取模运算，即可将相同的hashCode分片到相同的文件中；
5，针对每个文件取top10的hashCode，使用Map
6，再针对所有分片计算一个总的top10，最后合并的逻辑也是使用小顶堆，计算top10
7，如果仅展示前一个小时的top10，计算结束；
8，如果需要展示全天，需要与上一次的计算按hashCode进行合并，然后在这合并的数据中取top10；
9，在展示时，将计算得到的top10的hashcode，转化为新闻摘要显示即可。
